求解~~~已知三棱锥S

发布时间:2021-03-31 09:42 三棱锥 正三角形 射影

已知三棱锥S-AB的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30度,SA^2 = 12.求三棱锥的体积.(99年联赛) 要求有解答过程,最好配图

已知三棱锥S-AB的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA²=12.求三棱锥的体积 如图:A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心 高SE⊥BC--->SA⊥BC;高BG⊥SC--->BA⊥SC (三垂线定理逆定理) 设F是S在底面ABC的射影--->AE⊥BC,AB⊥CD(三垂线定理) --->F是△ABC的垂心,又△ABC是正三角形--->F是底面中心 --->S-ABC是正三棱锥 AB⊥SCD--->GD⊥AB--->二面角H-AB-C的平面角∠GDC=30° 侧棱SC与底面的角∠SCF=60° 又:SC²=SA²=12--->CF=(SC/2)=√3,SF=3 --->CD=(3/2)CF=3√3/2--->△ABC边长=3 --->V(S-ABC)=(1/3)S(ABC)SF       =(1/3)(√3/4)*3²*3       =9√3/4

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