高三数学已知双曲线C:x^2/4

发布时间:2021-04-02 07:38 双曲线 渐近线 距离

已知双曲线:x^2/4-y^2=1,p为曲线C上的任意一点。(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个实数。(2)设点A的坐标为(3,0),求PA的绝对值的最小值。

两渐近线x/2±y=0,即x+2y=0,x-2y=0

高三数学已知双曲线C:x^2/4

任一点P(a,b)到两渐近线距离之积为[(a+2b)/√5][(a-2b)/√5]=(a^2-4b^2)/5

又P在双曲线上,所以a^2-4b^2=4

所以P(a,b)到两渐近线距离之积为4/5是常数.

高三数学已知双曲线C:x^2/4

|PA|^2=(a-3)^2+b^2=(a-3)^2+(1/4)a^2-1=(5/4)a^2-6a+8

当a=6/[2(5/4)]=12/5时,

|PA|^2的最小值=(5*8-36)/5=4/5

|PA|的最小值(2/5)√5

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